Ou un hexaèdre) est une figure en trois dimensions, chaque face est un carré dans lequel, comme nous le savons, tous les côtés sont égaux. La diagonale du cube est un segment qui traverse le centre de la figure et relie des sommets symétriques. Dans un hexaèdre régulier, il y a 4 diagonales, et toutes seront égales. Il est très important de ne pas confondre la diagonale de la figure elle-même avec la diagonale de son visage ou de son carré qui se trouve à sa base. La face diagonale du cube passe par le centre de la face et relie les sommets opposés du carré.
Formule pour trouver la diagonale du cube
La diagonale d'un polyèdre régulier peut être trouvée en utilisant une formule très simple qui doit être rappelée. D = a√3, où D est la diagonale du cube et le bord. Nous donnons un exemple de problème où il est nécessaire de trouver une diagonale, s’il est connu que la longueur de son bord est de 2 cm. Ici, tout est juste D = 2√3, même rien n’a besoin d’être considéré. Dans le deuxième exemple, si le bord du cube est √3 cm, on obtient alors D = √3√3 = √9 = 3. Réponse: D est 3 cm.
La formule par laquelle vous pouvez trouver la diagonale de la face du cube
Diago 
Vous pouvez également trouver un visage par la formule. Les diagonales qui se trouvent sur les bords ne sont que 12 pièces et sont toutes égales. Nous nous souvenons maintenant de d = a√2, où d est la diagonale du carré et représente également le bord du cube ou le côté du carré. Comprendre d'où vient cette formule est très simple. Après tout, les deux côtés du carré et la forme diagonale: dans ce trio, la diagonale joue le rôle de l'hypoténuse et les côtés du carré sont les jambes, qui ont la même longueur. Rappelez-vous le théorème de Pythagore, et tout tombera immédiatement en place. Maintenant la tâche: le bord de l'hexaèdre est √8 cm, il faut trouver la diagonale de son visage. Nous insérons dans la formule et nous obtenons d = √8 √2 = √16 = 4. Réponse: la diagonale de la face du cube est de 4 cm.
Si la face diagonale du cube est connue
Par la condition du problème, on ne nous donne que la diagonale de la face d'un polyèdre régulier, c'est-à-dire √2 cm, et il faut trouver la diagonale du cube. La formule pour résoudre ce problème est légèrement plus compliquée que la précédente. Si nous connaissons d, alors nous pouvons trouver le bord du cube, basé sur notre deuxième formule d = a√2. Nous obtenons a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (c'est notre bord). Et si cette quantité est connue, il est facile de trouver la diagonale du cube: D = 1√3 = √3. C'est comme ça que nous avons résolu notre problème.
Si la surface est connue
L'algorithme de solution suivant est basé sur la recherche de la diagonale en supposant qu'elle soit égale à 72 cm 2. Pour commencer, nous allons trouver l’aire d’un visage, qui est au nombre de six. Donc, 72 doit être divisé par 6, nous obtenons 12 cm 2. C'est la zone d'un visage. Pour trouver l'arête d'un polyèdre régulier, il faut rappeler la formule S = a 2, ce qui signifie a = √S. Remplacez et nous obtenons un = √12 (bord du cube). Et si nous connaissons cette valeur, alors la diagonale n’est pas difficile à trouver D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. La réponse: la diagonale du cube est de 6 cm 2.
Si la longueur des arêtes du cube est connue
Il existe des cas où le problème ne concerne que la longueur de toutes les arêtes du cube. Ensuite, il est nécessaire de diviser cette valeur par 12. C'est le nombre de côtés dans le polyèdre correct. Par exemple, si la somme de tous les bords est 40, un côté sera égal à 40/12 = 3,3333. Nous insérons dans notre première formule et obtenons la réponse!
Dans lequel vous devez trouver le bord du cube. C'est la définition de la longueur d'un bord de cube par la surface de la face du cube, par le volume du cube, par la diagonale de la face du cube et par la diagonale du cube. Considérez les quatre options pour ces tâches. (Les tâches restantes sont, en règle générale, des variantes de ce qui précède ou des tâches en trigonométrie, qui sont très indirectement liées à la question à l’étude)
Si vous connaissez la surface d'une face de cube, la recherche d'un bord de cube est très simple. Comme la face du cube est un carré dont le côté est égal au bord du cube, son aire est égale au carré du bord du cube. Par conséquent, la longueur du bord du cube est égale à la racine carrée de l'aire de sa face, c'est-à-dire:
et - la longueur du bord du cube,
S est l'aire de la face du cube.
Trouver le visage d'un cube dans son volume est encore plus facile. Etant donné que le volume du cube est égal au cube (du troisième degré) du bord du cube, on obtient que la longueur du bord du cube est égale à la racine du cube (troisième degré) de son volume, c'est-à-dire:
et - la longueur du bord du cube,
V est le volume du cube.
Il est un peu plus difficile de trouver la longueur d'un bord de cube le long de diagonales connues. Noter par:
et - la longueur du bord du cube;
b - la longueur de la diagonale de la face du cube;
c - la longueur de la diagonale du cube.
Comme on peut le voir sur la figure, la diagonale de la face et les arêtes du cube forment un triangle équilatéral rectangulaire. Donc, par le théorème de Pythagore:
De là on trouve:
(pour trouver le bord du cube, vous devez extraire racine carrée de la moitié du carré de la face diagonale).
Pour trouver le bord du cube le long de sa diagonale, nous utilisons à nouveau le motif. La diagonale du cube (c), la diagonale de la face (b) et le bord du cube (a) forment un triangle rectangle. Donc, selon le théorème de Pythagore:
Nous utilisons la relation ci-dessus entre a et b et substitue dans la formule
b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Nous obtenons:
a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, d'où on trouve:
3 * a ^ 2 = c ^ 2, donc:
Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont égales. Par conséquent, la formule générale du volume d'un parallélépipède rectangle et la formule de sa surface dans le cas d'un cube sont simplifiées. En outre, le volume du cube et sa surface peuvent être trouvés, connaissant le volume de la balle qui y est inscrit, ou la balle décrite autour de lui.
Vous aurez besoin
- la longueur du côté du cube, le rayon de la balle inscrite et décrite
Instruction
Le volume d'un parallélépipède rectangle est: V = abc - où a, b, c sont ses dimensions. Par conséquent, le volume du cube est égal à V = a * a * a = a ^ 3, où a est la longueur du côté du cube.La surface du cube est égale à la somme des surfaces de toutes ses faces. Le cube a six faces et sa surface est donc S = 6 * (a ^ 2).
Laissez la balle s'insérer dans le cube. Évidemment, le diamètre de cette balle sera égal au côté du cube . En substituant la longueur du diamètre dans l'expression au volume au lieu de la longueur du bord du cube et en utilisant le diamètre égal à deux fois le rayon, on obtient alors V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), où d est le diamètre du cercle inscrit et r est le rayon du cercle inscrit. La surface du cube sera alors S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).
Laissez la balle être décrite autour d'un cube . Ensuite, son diamètre coïncidera avec la diagonale du cube . La diagonale du cube passe par le centre du cube et relie ses deux points opposés.
Considérons d'abord l'une des faces du cube . Les bords de cette facette sont les jambes d’un triangle rectangle, dans lequel la diagonale de la face d sera une hypoténuse. Ensuite, par le théorème de Pythagore, on obtient: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.
Ensuite, considérons le triangle dans lequel l'hypoténuse est la diagonale du cube et la diagonale de la face d et l'un des bords du cube a représente ses jambes. De même, selon le théorème de Pythagore, nous obtenons: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Donc, selon la formule dérivée, la diagonale du cube est D = a * sqrt (3). Par conséquent, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Par conséquent, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), où R est le rayon de la boule décrite. La surface du cube est S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).
Il existe souvent des tâches dans lesquelles vous devez trouver le bord d'un cube, souvent en vous basant sur des informations relatives à son volume, à sa facette ou à sa diagonale. Il existe plusieurs options pour définir un bord de cube.
Dans ce cas, si l’aire du cube est connue, l’arête peut être facilement déterminée. La face du cube est un carré dont le côté est égal au bord du cube. En conséquence, son aire est égale au bord carré du cube. Vous devez utiliser la formule suivante: a = √S, où a est la longueur du bord du cube et S la surface de la face du cube. Trouver une arête de cube par son volume est une tâche encore plus simple. Il faut prendre en compte que le volume du cube est égal à cube (au troisième degré) la longueur du bord du cube. Il s'avère que la longueur du bord est égale à la racine du cube de son volume. C'est-à-dire que nous obtenons la formule suivante: a = √V, où a est la longueur du bord du cube et V le volume du cube.
En diagonale, vous pouvez également trouver le bord du cube. En conséquence, nous avons besoin de: a - la longueur du bord du cube, b - la longueur de la diagonale de la face du cube, c - la longueur de la diagonale du cube. Selon le théorème de Pythagore, nous obtenons: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, et à partir de là, vous pouvez facilement déduire la formule suivante: a = √ (b ^ 2/2), qui extrait le bord du cube.
Encore une fois, en utilisant le théorème de Pythagore (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), nous pouvons obtenir la relation suivante: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, à partir de laquelle nous dérivons: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, par conséquent, le bord du cube peut être obtenu comme suit: a = √ (c ^ 2/3).
